インテグリティな技術コラム(11) ―― クロストーク・ノイズと二つの異なる伝送モード

　反射を式で解く方法は，本連載コラムの第3回で述べました．多くの式が登場して，うんざりされた方もいらっしゃるかと思います．クロストーク・ノイズを式で解くと，もっとたくさんの式が出てきそうです．確かに式だけで解こうとすると，このコラムのスペースでは足りないかもしれません．今回は，式の紹介は最小限にとどめ，クロストーク発生の原理を理解していただこうと思います．

コラム・連載「インテグリティな技術コラム」 バック・ナンバ
第1回  反射波形にはさまざまな情報が詰まっている
第2回  パルス幅によって変化するノイズの影響
第3回  ラプラス変換による分布定数の解
第4回  ラプラス変換からフーリエ変換へ
第5回  差動インピーダンス
第6回  転換点は10年前，メモリが非同期型から同期型へ
第7回  スタブの反射はSSTLで回避
第8回  メモリ・バスの周波数特性と転送速度
第9回  メモリ・モジュールのクロック分配 
第10回  トーナメント方式のクロックにおける反射回避方法 
 

●2本線路には二つの伝送モードの波が伝わる

　クロストークについて学習する際には，コモン（またはイーブン）とディファレンシャル（またはオッド）の二つのモードが存在する，というところから始めます．なぜこの二つのモードが存在するのか，3本ならどんなモードになるのか，4本なら...，という興味がわいてきます．

　それらの疑問はそのままにしておいて，ちょっとだけ式を見てみます．

　第3回のコラムで述べたように，ラプラス変換を用いた，反射波形を求める微分方程式は，以下のとおりです．

..... (1)

　これは定数項のない2階の微分方程式（斉次という）なので，速度について符号が異なり絶対値の等しい二つの波となります．すなわち，右行波と左行波です．2本線路のクロストークでは，以下の式の複二次式の4階の微分方程式を解くことになります．

..... (2)

　この式を解くと，2種類の速度の波が現れます．1本線路の式(1)は±aの根を持つ2次方程式に似ていて，2本線路の式(2)は±aと±bの2組の根を持つ4次方程式に似ている，と考えると分かりやすいかと思います．式(1)および式(2)はラプラス変換した式なので，負の根に相当する（指数の肩が負）のは右に進む波（右行波）で，正の根に相当するのは左行波です．速度の異なる2組の波が存在するところまでは理解できたと思います．

●2本の結合線路には加害者側と被害者側が存在

　図1は実際の2本の結合線路の例で，図2はその遠端の波形です．信号を加える側を加害者（aggressorまたはd-ing），加えてない側を被害者（victimまたはd-ed）と呼びます．

図1　結合線路の例

図2　結合線路の波形

　いずれの波形も，単なる反射波形とは形が異なっています．ここで両者の平均と，差の半分をとってみると，図3のようになります．

図3　和と差をとってみる

　この二つの波形は，あたかも単純な遠端の反射波形であるかのように見えます．開放された遠端の波形について，ドライバの出力抵抗をR₁，線路の特性インピーダンスをZ₀とすると，正規化した振幅は以下の式で表されます．

..... (3)

　図3からそれぞれの波形の振幅が分かるので，式(3)から特性インピーダンスが求められます．すわなち，以下の式からZ₀を求めます．

..... (4)

　それぞれの振幅に対して，以下の値が得られます．

..... (5)

..... (6)

　また，波形の立ち上がり付近を詳しくながめると，1.0nsと0.96nsで波形が立ち上がっています．