インテグリティな技術コラム(5) ―― 差動インピーダンス

　1本の線路の特性インピーダンスは定義も明確であり，間違って理解されることもありません．ところが，2本の線路の特性インピーダンスは，きちんと定義しておかないと間違って伝わったり，思わぬ疑問が生じたりすることがあります．筆者が講師を務めるセミナなどでも，必ずといっていいほど差動インピーダンスについての質問が出てきます．今回は基本に立ち返り，このテーマを掘り下げてみます．

コラム・連載「インテグリティな技術コラム」 バック・ナンバ
第1回  反射波形にはさまざまな情報が詰まっている
第2回  パルス幅によって変化するノイズの影響
第3回  ラプラス変換による分布定数の解
第4回  ラプラス変換からフーリエ変換へ

●1本の線路の特性インピーダンスを考える

　線路に信号が伝わるとき，電圧と電流がペアになって，波として伝わります．この波を「進行波」と呼びます．このときの電圧と電流の比が特性インピーダンスです．

　特性インピーダンスは，信号が伝わる材質と形状によって変わります．信号の伝わる周りの材質(「媒体」と呼ぶ)が均質の場合，媒体の誘電率の平方根に反比例します．均質ではない媒体，例えばプリント基板（以下，ボード）の表面層のように，下半分は誘電体で上半分が空気のような媒体では，樹脂と空気の中間の値を等価的な誘電率として用います．一般に使われるボードは，FR-4と呼ばれるガラス・エポキシ樹脂の基板です．比誘電率は4.3～4.7程度なので，この平方根はたかだか5%程度の差しかなく，通常は誘電率の違いを気にしなくてもよいでしょう．

　特性インピーダンスは，ボードの断面図を元にして求めます．接地面（Gnd：グラウンド，直流電源も接地面とみなす）からの距離（高さh）と，導体（パターン）の幅（W），および厚み（t）が主なパラメータです．図1に，これらのパラメータを変えたときの特性インピーダンスZ₀を示します．

図1　線路定数と特性インピーダンス

　余談ですが，impedance（インピーダンス）は，足を表すpedに否定の接頭語imと名詞化の接尾語のanceが付いたものです．「歩くのを妨げる」というのが語源です．pedは自転車のペダル(pedal)や歩行者(pedestrian)の語の中に現れていますね．

●2本では極性によってふるまいが異なる

　さて，線路が2本になると特性インピーダンスはどのように定義すればよいのでしょうか．2本のうちの1本を考えると，他方の状態によって特性インピーダンスは変わってきます．両者が同じ極性の信号の場合と互いに逆極性の場合では，その値が異なります．同じ極性の場合，2本の線路間には電気力線が存在しません．逆極性の場合は多くの電気力線が存在します．電気力線は電流のようなイメージなので，同極性の場合にはインピーダンスが高く，逆極性の場合にはインピーダンスが低くなります．

　アナログ回路で，「ミラー効果」という言葉を聞いたことがあるかもしれません（Appendix 「ミラー効果」を参照）．反転増幅回路において，入力と出力の間に，例えば微小のキャパシタが存在すると，等価的にゲイン倍の容量が見えるというものです．ゲインが1の反転増幅回路なら，入力と出力は互いに逆極性の電位となり，容量は2倍に見えます．容量ではなく抵抗なら，その抵抗が1/2に見えます．逆に，ゲイン1の非反転増幅回路なら，入力と出力は同電位となって，容量の場合も抵抗の場合もいずれも見えなくなります（開放に等しい）．

　2本の線路が互いに逆極性ならゲインが1の反転増幅回路のようなイメージ，互いに同極性ならゲインが1の非反転増幅回路のようなイメージとなります．逆極性の場合はインピーダンスが低く，同極性の場合はインピーダンスが高くなります．前者をディファレンシャル（Differential）またはオッド（Odd＝奇）のモード，後者をコモン（Common）またはイーブン（Even＝偶）のモードと呼びます．

　この二つのモードは，2本の結合線路の波動方程式から導くことが出来ます．2本の結合線路の信号は，この二つのモードの組み合わせ（1次結合）で伝搬しています．3本線路なら三つのモードが存在し，4本線路なら四つのモードとなります．これらを解くのは，数学的には固有値を求めることになりますが，3本以上になると物理的な概念がイメージしにくくなるので，ここでは触れません．

　図2に，簡単な2本の結合線路において二つのモードの特性インピーダンスを解析した結果を示します．Z_Cはコモン・モードの特性インピーダンス，Z_Dはディファレンシャル・モードの特性インピーダンスを意味します．両者の関係は，常にZ_C≧Z_Dです．Z_Cを2本の線路を接続した場合として，またZ_Dを2本の線路間のインピーダンスとして表現することがあります．この場合，Z_C＜Z_D（用いている記号は異なることがある）となるので，どちらの表現かは容易に気がつくはずです．

図2　2本の結合線路における特性インピーダンスの例

　「はず」と書きましたが，気がつかなくて，「何かおかしい」とずっと悩む方を少なからず見かけます．上記の不等号を見て判断してください．表1に2本の結合線路における二つのモードの特性インピーダンスの表現をまとめました．Z_CおよびZ_Dという場合には，例外を除いて1本当たりのインピーダンスを表しますが，他の表現では2本当たり，あるいは2本間のインピーダンスとする場合もあります．表1の値は，図2の線路の場合の例です．Z_CとZ_Dの大小関係により判断してください．まれに，片方を1本当たり，他方を2本当たりとしていることもあるので，十分注意してください．

表1　2本の結合線路のインピーダンス

　2本線路の結合が強いほど，Z_CとZ_Dの差（比といったほうが適当かもしれない）は開きます．両者間のクロストークの度合いを基礎クロストーク係数ξと呼びます．ξは，式(1)で定義されます．

　　　　　......... (1)

　2本の線路の結合が強いとξは大きくなり，結合が弱いと小さくなります．ξ＝0は，独立した2本の線路を意味します．

　なお，2本の結合線路のうち，1本だけが単独で存在する場合の特性インピーダンスZ₀は，式(2)で表されます．

　　　　　......... (2)

　従って，式(1)と式(2)から，Z_CとZ_Dは，単独線路の特性インピーダンスZ₀とクロストーク係数ξを用いて，

　　　　　......... (3)

　　　　　......... (4)

と表されます．式(3)および式(4)からも，Z_C≧Z_Dであることが分かりますね．